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By Roshdi Rashed

The mathematical works of Ab? K?mil (floruit circa 880) have been produced generations after the works of Al-Khwarizm?, the founding father of algebra. They unfolded fields of analysis that proved fertile up till the 17th century, and have been quickly to turn into either a reference and a version. Their impression used to be decisive at the improvement of algebra in Arabic at least in Latin and Hebrew. there'll be present in the current booklet the 1st carefully severe version of Ab? K?mil s works, in addition to the 1st ever translation right into a smooth language. textual content and translation are preceded by means of an exhaustive observation, immediately mathematical and historical."

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X^ =4 +- +- +^^8+ [5 +- + l ^ . 2 3 - 51 - On considère l’équation - 53 - On considère l’équation [x^ - ( 2 x + 10)f = 8 x \ (*) 2x + J - x ^ + J - x ^ =20. Abu Kâmil en déduit x^ - 2 x - W = xVS, Voir plus loin, p. 438. V 3 V3 90 Le calcul algébrique et ses applications Chapitre II Abü Kâmil isole les deux radicaux puis met chaque membre au carré : ^ '1 2 '3 y 91 - 57 - On considère l’équation =4x\ = (20-2x)% Première méthode : On pose y - yr. c’est-à-dire 80x = 400 + 3 + — J - 6 VSy 4y. V équation quadratique qu’Abü Kâmil ne prend pas la peine de résoudre.

U On pourrait écrire JC = 10 1 + •>/V2 —1 f«v = 1 « - V= — 6 Multiplions la deuxième équation par v ; et utiliser des conjugués pour faire disparaître les radicaux du dénominateur, mais Abû Kàmil, comme à son habitude, résout à cet effet une équation quadratique (comme dans le problème 37) : ( 10 - J c ) ' = J c ' ( V 2 - l ) . On multiplie tout par (l + VÏ2) car 88 Chapitre II Le calcul algébrique et ses applications c’est-à-dire (l + V ïl)(2 - V2) = I. x^ = x{2 + VS j +10 Alors 100 + V50œ + = (20 + V2Ô0)a: dont l’unique racine positive est \ + ^f2 +^|\3 + ^fS.

336. Cf. les problèmes 27, 28 et 30 de Diophante d’Alexandrie, Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones. Œuvres traduites pour la première fois du grec en français avec une introduction et des notes par Paul Ver Eecke, Paris, 1959. + ^ —+±=4+ 4 y X JC+ }^= 10 bl 34±- n/3 4 ' - 4x120 34±26 , y = ------------------------ ------------= 4 ou 30. 10-X U ------------X , 1 V= 4 + — U 4 MV = 1 JC V= — -10 - Dans ce problème, les inconnues sont les nombres d’hommes dans deux groupes d’hommes.

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